Research

26 views

INTEGRASI NUMERIK

INTEGRASI NUMERIK
of 34
All materials on our website are shared by users. If you have any questions about copyright issues, please report us to resolve them. We are always happy to assist you.
Share
Tags
Transcript
  Bab 3Bab 3Supardi,M.SiSupardi,M.Si BAB IIIINTEGRASI NUMERIK Integrasi numerik mengambil peranan penting dalam masalah sains dan teknik. Hal ini menginat di dalam bidang sains sering ditemukan ungkapan-ungkapam integral matematis yang tidak mudah atau bahkan tidak dapat diselesaikan secara analitis. Disamping itu, kadang-kadang fungsi yang integralkan tidak berbentuk analitis melainkan berupa titik-titik data. Hal ini sering muncul dalam banyak aplikasi teknik. Oleh sebab itu, kehadiran analisis numerik menjadi penting manakala pendekatan analitis mengalami kebuntuan.Dalam bab ini kita akan membahas beberapa teknik integrasi numerik yang sangat umum digunakan untuk memperoleh pendekatan integral fungsi ( )  x y  pada batas interval [ ] ba , . Secara umum, integral fungsi ( )  x y  pada interval tersebut dapat dinyatakan  I  = ∫  x = ab  f     x  dx !-"#$ngkapan !-"# dapat diartikan sebagai integral dari fungsi ( )  y x  terhadap  peubah bebas  x yang dievaluasi mulai dari  x a =  hingga  x b = . %endekatan numerik terhadap ungkapan integral !-"# dapat dinyatakan sebagai ( ) ( ) ∑ = ≈  N iii  x yw x I  " !-&#dengan  N menyatakan jumlah segmen,  y   x " =  y  a  dan  y   x  N  =  y  b  .%erhatikan bah'a pendekatan numerik terhadap bentuk integral !-"# merupakan  jumlahan dari deret suku-suku dengan titik-titik i  x  terbentang dari  x a =  hingga  x b =  dan di setiap titik i  x  dievaluasi fungsi ( )  y x . (aktor i  x  ini sering disebut sebagai titik simpul  node #. Sedangkan, faktor pengali i w  disebut  faktor bobot. IntegrasiNumerikIntegrasiNumerik4646  Bab 3Bab 3Supardi,M.SiSupardi,M.Si 3.1 Metode Klasik Dalam pasal ini, kita akan membahas beberapa metode integrasi numerik yang sering digunakan dalam mendekati ungkapan integral fungsi. $ntuk lebih jelasya, marilah kita tinjau sebuah fungsi ( )  f x yang dintegralkan dengan batas ba'ah )  x x =  dan batas atas  x =  x  N   seperti terlihat pada gambar !.&. IntegrasiNumerikIntegrasiNumerik47 47  Gambar 3.1 Deskripsi bentuk integral  I  = ∫ b  y   x  dxGambar 3.2 Integrasi numerik menggunakan lebar segmen h -20  f(x  x!x "   x!x  N#1  h  x 1  x 2   x  N    x  N$1   x 3   . . .  Bab 3Bab 3Supardi,M.SiSupardi,M.Si Dari gambar !.& kita membubuhkan beberapa notasi di bagian absis yaitu )  x , "  x , !  x ,*,  N   x  dengan lebar segmen sebesar h% sehingga kita dapat definisikan  x i =  x )  ih  % dengan   i = ",&,!,...  % N  !-!#Dengan demikian harga fungsi ( )  f x  pada i  x x =  adalah ( ) i i  f x f   ≡ !-+#Selanjutnya, kita akan melakukan integrasi fungsi ( )  f x yang dibatasi oleh batas  ba'ah  x a =  dan batas atas  x b = . $ngkapan integrasi numerik dengan menggunakan harga-harga fungsi pada ujung-ujungnya, yaitu ( )  f a  dan ( )  f b  biasa disebut metode tertutup. Dalam gambar !.&, penggunaan metode tertutup dapat dilakukan dengan memilih batas ba'ah )  x x =  dan batas atas  x =  x  N  . kan tetapi, kadang-kadang ditemukan sebuah fungsi dimana salah satu ujungnya atau bahkan keduanya sangat sulit untuk dihitung misalnya, fungsi yang akan dihitung mendekati suatu harga nol atau singularitas#. Oleh sebab itu, kita membutuhkan metode baru yang disebut dengan metode terbuka. etode terbuka   ini akan mengestimasi integral dengan menggunakan titik-titik simpul  node #  i  x  yang berada diantara simpul-simpul batas yaitu a  x  dan b  x . Dalam gambar !.& metode terbuka digunakan untuk mendekati integral fungsi dengan memilih batas ba'ah integrasi "  x x =  dan batas atas  x =  x  N  − " . 3.1.1 Metode Trapesium Sebagaimana namanya, metode trapeium merupakan metode integrasi numerik yang didasarkan pada penjumlahan segmen-segmen berbentuk trapesium. pabila sebuah integral didekati dengan metode trapesium dengan satu segmen saja, maka dapat dituliskan sebagai ( ) ( ) ( ) [ ]  & b f  a f   abdx x f   ba ++−= ∫   & !-/# IntegrasiNumerikIntegrasiNumerik4848  Bab 3Bab 3Supardi,M.SiSupardi,M.Si Suku pertama pada ruas kanan adalah aturan trapeium yang kita maksudkan, sedangkan suku kedua yang dinyatakan dengan  & adalah kesalahan yang dimiliki oleh metode ini. $ntuk memperoleh ungkapan metode trapesium !-/# dan untuk mengetahui seberapa besar kesalahan yang dimiliki oleh metode ini, maka kita perlu melakukan ekspansi deret 0aylor luasan  '   x  yang didefinisikan sebagai  '   x = ∫  x )  x  f    t   dt  !-1#2kspnasi deret 0aylor untuk luasan  '   x  selanjutnya adalah  '   x =  '   x )   x −  x )   '    x )   x −  x )  & &  '    x )   x −  x )  ! 1  '    x )  ...!-3#dengan definisi !-1# maka diperoleh  '    x =  f     x   %'    x =  f    x   %'    x =  f    x  !-4#Selajutnya, ungkapan !-1# untuk batas ba'ah integrasi  x ) dan batas atas  x )  h menjadi ∫  x )  x )  h  f     x  dx = )  h'    x )  h & &  '    x )  h ! 1  '    x )  ... = hf     x )  h & &  f    x )  h ! 1  f    x )  ...!-5#Dengan mendekati ungkapan turunan pertama dengan beda hingga maju   forward differen)e #  f    x ) ≈  f     x )  h −  f     x )  h !-")#maka persamaan !-1# akan mengambil bentuk   I  = hf     x )  h & &  f     x )  h −  f      x )  h   *  h !  .!-""#Dengan demikian kita memperoleh pendekatan integral dengan teknik integrasi trapesium adalah ∫  x )  x )  h  f     t   dt  ≈ h &  [  f     x )   f     x )  h  ] !-"&# IntegrasiNumerikIntegrasiNumerik49 49   Bab 3Bab 3Supardi,M.SiSupardi,M.Si Dari ungkapan !-""# dapat diketahui bah'a pendekatan integrasi dengan aturan trapesium memiliki kesalahan yang sebanding dengan  h  ! . Oleh sebab itu, jika kita membagi dua terhadap h  maka kesalahan hasil integrasi akan tereduksi hingga "64 nya. kan tetapi, ukuran domainnya juga terbagi menjadi dua, sehingga dibutuhkan aturan trapesium lagi untuk mengevaluasinya, selanjutnya sumbangan hasil integrasi tiap domain dijumlahkan. Hasil akhirnya memiliki kesalahan "6+ nya bukan lagi "64 nya. $ntuk memperoleh ungkapan yang lebih teliti mengenai kesalahan pada metode ini, maka marilah kita lakukan perhitungan lebih teliti lagi. 7ika kesalahan pendekatan dinyatakan sebagai  &% maka  &  = ∫  x )  x )  h  f     x  dx − h & [  f     x )   f     x )  h  ] = [ h f     x )  h & &  f     x )  h ! 1  f     x )  ... ] − h & [  f     x )   f     x )  h f     x )  h & &  f     x )  h ! 1  f       x )  ... ] ≈−  ""& h !  f     x )  !-"!#Secara grafis ungkapan !-"&# dapat digambarkan seperti pada gambar !-!#  IntegrasiNumerikIntegrasiNumerik50 50  h Gambar 3.3. Deskripsi se)ara grafis aturan trapesium   h
We Need Your Support
Thank you for visiting our website and your interest in our free products and services. We are nonprofit website to share and download documents. To the running of this website, we need your help to support us.

Thanks to everyone for your continued support.

No, Thanks