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  Profr. Efraín Soto Apolinar. Método de fórmula general Ahora vamos a utilizar el método infalible.La siguiente fórmula, que llamaremos «  fórmula general » nos ayudará a resolver cualquier ecuacióncuadrática. Definición1 Fórmula General La fórmula general para resolver ecuaciones de segundo grado es la siguiente:x  =  − b ±√  b 2 − 4 ac 2 adonde a , b , c son los coeficientes de la ecuación cuadrática: a x 2 +  b x  +  c  =  0 . Para resolver ecuaciones de segundo grado usando la fórmula general, primero debemos identi-ficar los valores de los coeficientes. Ejemplo 1 Resuelve la siguiente ecuación cuadrática: x 2 +  2 x − 1  =  0 •  Observa que en este caso no podemos hacer la factorización, porque:   El trinomio cuadrado  no  es perfecto, y   No hay dos números enteros que sumados den 2 y multiplicados den − 1. •  En estos casos, la fórmula general es la que nos salva. •  Los coeficientes en este caso son:  a  =  1,  b  =  2, y  c  = − 1. •  Vamos a sustituir los coeficientes en la fórmula y después realizamos los cálculos que quedanindicados. x  =  − b ±√  b 2 − 4 ac 2 a =  − ( 2 ) ±   ( 2 ) 2 − 4 ( 1 )( − 1 ) 2 ( 1 )=  − 2 ±   4 − ( − 4 ) 2 =  − 2 ±√  82 •  Podemos ver que el radicando puede ser factorizado como 8  =  2 3 =  2 · 2 2 , y después,simplificar: x  =  − 2 ±√  2 · 2 2 2 =  − 2 ± 2 √  22 www.aprendematematicas.org.mx  1/ 12  Profr. Efraín Soto Apolinar. •  Y ahora podemos simplificar, dividiendo entre dos: x  = =  −    2    2  ±    2 √  2    2 =  − 1 ±√  2 •  Y las soluciones de la ecuación cuadrática son: x 1  =  − 1  + √  2 x 2  =  − 1 −√  2 •  Para verificar que las soluciones de la ecuación cuadrática son correctas podemos utilizar elmétodo de factorización. •  Al sumar las raíces debemos obtener el negativo del coeficiente del término lineal, y almultiplicarlos, debemos obtener término independiente.  Profesor: Sugiera queapliquen pro-ducto conjugadopara la multipli-cación.   x 1  +  x 2  = − 2  ⇒  − 1  +      √  2  +  − 1 −      √  2  ( x 1 )( x 2 ) = − 1  ⇒  − 1  + √  2  ·  − 1 −√  2  En la comprobación tanto la suma de las raíces como la multiplicación son muy sencillas.Para realizar la multiplicación de una manera sencilla aplica el producto de binomios conjugados:el resultado es una diferencia de cuadrados.   Reto 1  Explica por qué la suma de las raíces debe ser igual al negativo del coeficiente del término lineal Ejemplo 2 Resuelve la siguiente ecuación cuadrática:5 x 2 +  57 x − 36  =  0 •  Esta ecuación sí se puede resolver por el método de factorización, pero sería muy laborioso. •  Preferimos usar el método de la fórmula general: x  =  − b ±√  b 2 − 4 ac 2 a =  − ( 57 ) ±   ( 57 ) 2 − 4 ( 5 )( − 36 ) 2 ( 5 )=  − 57 ±   3249 − ( − 720 ) 10 =  − 57 ±√  396910 www.aprendematematicas.org.mx  2/ 12  Profr. Efraín Soto Apolinar. •  El número 3969  =  63 2 , así que podemos simplificar el radicando: x  =  − 57 ±√  63 2 10 =  − 57 ± 6310 •  Ahora encontramos las dos raíces: x 1  =  − 57  +  6310  =  610  =  35 x 2  =  − 57 − 6310  =  − 12010  = − 12 •  Esto quiere decir que podemos reescribir la ecuación de la siguiente manera equivalente: ( x  +  12 )  x −  35   =  0 •  Y al multiplicar ambos lados de la igualdad por 5, obtenemos una ecuación equivalente queno incluye fracciones: ( x  +  12 )( 5 x − 3 ) =  0 •  Ahora que conoces la factorización, se te queda como ejercicio multiplicar los binomiospara verificar que las ecuaciones son equivalentes y después realizar la comprobación susti-tuyendo las raíces en la ecuación.Algunas veces encontraremos ecuaciones que al simplificarse, se reducen a una ecuación cuadrática.En estos casos, después de haber expresado la ecuación en la forma ( ?? ), debemos reconocerlacomo tal y proceder a su solución por cualquiera de los métodos que ya hemos estudiado. Ejemplo 3 Resuelve la siguiente ecuación:5 x  +  2  −  1 x − 2  =  3 •  Esta ecuación, para empezar, ni siquiera parece cuadrática. •  Vamos a simplificarla, para ver si podemos resolverla usando la fórmula general. •  Para esto, vamos a multiplicar ambos lados de la igualdad por ambos denominadores:5          ( x  +  2 )( x − 2 )        x  +  2  −  ( x  +  2 )          ( x − 2 )        x − 2  =  3 ( x  +  2 )( x − 2 ) 5 ( x − 2 ) − ( x  +  2 ) =  3 ( x 2 − 4 ) 5 x − 10 − x − 2  =  3 x 2 − 12 − 3 x 2 +  4 x  =  0 •  Esta ecuación cuadrática puede resolverse fácilmente utilizando el método de factorización. www.aprendematematicas.org.mx  3/ 12  Profr. Efraín Soto Apolinar. •  Sin embargo, vamos a utilizar la fórmula general: x  =  − b ±√  b 2 − 4 ac 2 a =  − ( 4 ) ±   ( 4 ) 2 − 4 ( − 3 )( 0 ) 2 ( − 3 )=  − 4 ±   16 − ( 0 ) − 6 =  − 4 ±√  16 − 6 •  Como √  16  =  4, tenemos: x  =  − 4 ± 4 − 6 x 1  =  − 4  +  4 − 6  =  0 x 2  =  − 4 − 4 − 6  =  − 8 − 6  =  43 •  Ahora tú realiza la comprobación. Ejemplo 4 Resuelve la siguiente ecuación:8 x − 1  −  1 x  +  1  =  1 •  De nuevo, simplificamos la ecuación, multiplicando ambos lados de la igualdad por ambosdenominadores:8 (        x − 1 )( x  +  1 )        x − 1  −  ( x − 1 )(        x  +  1 )        x  +  1  = ( x − 1 )( x  +  1 ) 8 ( x  +  1 ) − ( x − 1 ) =  x 2 − 18 x  +  8 − x  +  1  =  x 2 − 17 x  +  9  =  x 2 − 1 − x 2 +  7 x  +  10  =  0 •  Pero todavía podemos multiplicar por − 1 ambos lados de la anterior igualdad y obtener: x 2 − 7 x − 10  =  0 www.aprendematematicas.org.mx  4/ 12  Profr. Efraín Soto Apolinar. •  Ahora podemos aplicar la fórmula general: x  =  − b ±√  b 2 − 4 ac 2 a =  − ( − 7 ) ±   ( − 7 ) 2 − 4 ( 1 )( − 10 ) 2 ( 1 )=  7 ±   49 − ( − 40 ) 2 =  7 ±√  892 •  Ahora podemos encontrar ambos valores de las raíces: x 1  =  7  + √  892 x 2  =  7 −√  892 •  Se te queda la comprobación como ejercicio.Algunas ecuaciones que no son cuadráticas, se pueden transformar en ecuaciones cuadráticas yresolverse usando los métodos que ya hemos estudiado.El siguiente ejemplo es una muestra de esos casos.   Ejemplo 5 Resuelve la siguiente ecuación cuadrática:2 x 4 +  9 x 2 − 5  =  0 •  Empezamos notando que esta ecuación tiene solamente exponentes pares. •  Esto nos sugiere definir:  u  =  x 2 , lo cual implica:  u 2 =  x 4 . •  Al sustituir estos valores en la ecuación obtenemos una nueva ecuación equivalente:2 u 2 +  9 u − 5  =  0 •  Ahora tenemos una ecuación cuadrática que podemos resolver utilizando la fórmula general: u  =  − b ±√  b 2 − 4 ac 2 a =  − ( 9 ) ±   ( 9 ) 2 − 4 ( 2 )( − 5 ) 2 ( 2 )=  − 9 ±   81 − ( − 40 ) 4 =  − 9 ±√  1214 www.aprendematematicas.org.mx  5/ 12
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